数学少女哥德尔不完备定理海报

数学中公理与哥德尔不完备和希尔伯特不可判定性有关，因为它们都是数学逻辑学的问题。哥德尔不完备定理证明了数学系统中永远存在着不可证明的真命题；希尔伯特不可判定定理证明了存在着某些命题在数学系统中是无法通过自身的证明方法证明或者否定的。而公理是数学系统中的最基本命题，它们既不能被证明，也不能被否定。因此，公理也可以说是一种自指性的问题。

图灵停机定理是指不存在一个程序，它能够判断所有其他程序的行为是否会停机。哥德尔不完备定理是指一个数学系统的完备性和其他系统的可证明性是不能同时兼得的。希尔伯特不可判定定理是指对于一些数学命题，不存在任何一种系统可以证明这些命题是否成立。罗素悖论是指一个人不能同时承认说“任何命题都是真或假”，并且又不承认说“任何命题都是假或真”。

逻辑学是介乎数学和哲学之间的一门学问，成就最大的当属奥地利出生的哥德尔（如今他的出生地归属捷克的摩拉维亚），他是物理学家爱因斯坦晚年的挚友和知己。据说爱因斯坦之所以一直定居在普林斯顿，能有机会与比他年轻27岁的哥德尔一起散步也是一个重要原因。哥德尔的两条不完备性定理表明，没有哪一部分数学能做到完全的公理推演，也没有哪一部分数学能保证其内部不存在矛盾。这是否意味着，有些案件是无法通过推理解破的？而塞尔登正是因为对哥德尔定理作了进一步的延拓，被视作逻辑学的权威。

完备自指结构是一种没有矛盾或悖论的结构，可以在自己的语言或描述中被完全描述。不完备自指结构是一种存在矛盾或悖论的结构，无法在自己的语言或描述中被完全描述。这种结构是哥德尔不完备定理和希尔伯特不可判定性定理的重要前提。

这就推导出一个完备的自然数系统（图2-a₁₂及其展开的图2-a₁₃），在该系统中哥德尔不完备性定理不成立；同时也证明了一个完备的系统包含自身的内部矛盾为真，其数学形式表现为几何内向的对称性（图2-a₆，……）。这个推论叫做宇宙的自然数完备性定理，或者叫做量子数完备性定理。